A.Burdonskis gimė 1941 metų spalio 14 d. Kuibyševe. Jo tėvas buvo Vasilijus Stalinas, o motina - Galina Burdonskaja.
Šeima iširo 1944 metais, bet A. Burdonskio tėvai skyrybų taip ir neįformino. Be būsimo režisieriaus, jie dar turėjo bendrą dukterį - Nadeždą Staliną.
Nuo gimimo A. Burdonskis turėjo Stalino pavardę, bet 1954 metais, jau po senelio mirties, jis paėmė motinos pavardę.
Viename iš interviu A. Burdonskis prisipažino matęs Josifą Staliną tik iš toli - tribūnoje, o iš arti - 1953 metų kovo mėnesį per jo laidotuves.