Algimantas Saunoris buvo Lietuvos stalo teniso asociacijos garbės narys (1990), Lietuvos didžiojo kunigaikščio Gedimino ordino Karininko kryžius (2005), LTOK Olimpinė žvaigždė (2008).
Algimantas Saunoris, būdamas Vilniaus universiteto studentu, 1952 metais tapo Lietuvos ir SSRS čempionu, vėliau jis SSRS vieneto čempionu tapo dar 1953, 1954, 1956, 1959, ir 1961 metais.
Vyrų dvejeto SSRS čempionu tapo poroje su V. Baltakiu 1956 m., poroje su R. Paškevičiumi 1957, 1958, ir 1959 m. mišrių dvejetų SSRS čempionu tapo poroje su B. Balaišiene 1957, su S. Paiserv 1960 ir 1961 metais.
Pirmojoje SSRS tautų spartakiadoje A. Saunoris tapo absoliučiu čempionu: laimėjo aukso medalius vieneto rungtyje, poroje su R. Paškevičiumi vyrų dvejete ir poroje su N. Ramanauskaite mišriame dvejete. Jis – įžymiausias Lietuvos stalo tenisininkas, 9 aukso medalių Lietuvos čempionatų vieneto rungtyje, 13 aukso medalių TSRS čempionatuose (20 įskaitant komandines varžybas) laimėtojas.
1975 metais išvykęs į Kanadą, po papildomų studijų tapo Ontario terapeutų ir chirurgų koledžo nariu, 1979 metais įgijo savarankiško chirurgo darbo atestatą, kuriuo naudojosi iki 2010 metų. Tapo 1-jų (1978, Torontas) ir 2-jų (1983, Čikaga) Pasaulio lietuvių sporto žaidynių stalo teniso varžybų nugalėtoju.
