2020 metų matematikos egzaminą galima buvo išlaikyti ir nežinant matematikos. Tai yra surinkti 9 taškus vien skaičiavimo mašinėlės ir „sveiko proto“ dėka. Liūdna pripažinti, bet tai yra rimtas praėjusių metų egzamino trūkumas. Juk tie abiturientai, kurie bent dalinai tuo pasinaudojo, įgavo pranašumą ne savo žinių, o atitinkamų technikų dėka. Pažiūrėkime, kaip tai galima buvo padaryti. Žemiau pateiktiems 2020 metų egzamino uždaviniams pridedame ir jų „sprendimus – išsisukimus“.

Taip pateiktą uždavinį galima „išspręsti“ iš viso nežinant, kas yra modulis. Bet tada turime gilintis į esmę.

Tai nekorektiškai egzamine suformuluoto uždavinio pavyzdys. Mokinys čia susiduria su rimtu neaiškumu, bandydamas nustatyti funkcijos apibrėžimo sritį (uždavinio sąlygos traktavimo problemų egzamine neturėtų būti). Kadangi egzamine yra du uždaviniai su brėžiniais (gerai ir tiksliai nubraižytas brėžinys 17 uždavinyje), tai juos lygindamas jis greičiausiai prieina neteisingos išvados, kad ir šis brėžinys yra tikslus. Tai reiškia, kad funkcija apibrėžta ne visoje Ox ašyje.

Šio netikslumo galima būtų taip paprastai išvengti. Juk koordinačių ašys apibrėžia rėmą (gaunamą nubrėžus statmenas ašims tieses per koordinačių ašių galus). Kai apibrėžimo sritis yra visi realūs skaičiai grafikas būtinai turi kirsti šį rėmą (šiuo atveju dviejose viršutiniuose taškuose). Tačiau šito brėžinyje nėra.

Deja, tai ne vienintelė pastaba, kuri turėtų būti skirta egzamino uždavinių tekstui. Yra dar bent du uždaviniai, kurie sulaukia rimtų vienareikšmio sąlygos suformulavimo pastabų, kai kur tekste painiojamos sąvokos (ypač reiškinio ir funkcijos). Taip pat yra netinkamai suformuluota geometrinė sąvoka, bet tai atskira tema matematikams.

Šis uždavinys galėtų būti sprendžiamas panaudojant liniuotę. Apytiksliai išmatuojame paties kairiausio sąlygos grafiko taško koordinates ir gauname x=0,5 cm (matavimai A4 formato lape).

Išmatavę atstumą tarp pažymėtų Ox ašyje taškų 0 ir 2, gauname 1 cm. Todėl 1 cm atitinka du vienetus ir tai reiškia, kad funkcija apibrėžta nuo -1 iki nesvarbu kur. Iš karto atmetamas atvejis D. Atvejai A ir C atkrenta (dėl to, kad jie nubraižyti taisyklingai ir tai reiškia, kad jų apibrėžimo sritys, skirtingai nuo sąlygoje pavaizduotos funkcijos, yra visi realieji skaičiai). Lieka atvejis B. Kaip nebūtų keista, toks sprendimas duoda teisingą atsakymą.

Dvigubas dugnas

Prisiminkime, kad egzamine tikrinami beveik visų šių uždavinių tik atsakymai. Todėl norėtųsi, kad teisingas atsakymas garantuotų ir teisingą uždavinio sprendimą. Bet pasirodo, uždaviniai sukurti taip, kad teisingą atsakymą galima gauti ir beveik nenaudojant matematikos žinių. Kitaip tariant, 2020 metų matematikos VBE turėjo „dvigubą dugną“. Pasiaiškinkime, ką gi tai reiškia.

Iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad visi sprendimai, kurie duoda teisingą atsakymą, yra geri. Tačiau egzamino klausimai, suformuluoti uždavinių ir užduočių pavidalu, yra prasmingi tik tada, kai jie patikrina tam tikras žinias. Jeigu iš pakankamai daug užduočių galima „išsisukti“, tai ką gi vertina, o ką nuvertina toks egzaminas?

Kyla klausimas, ar šis „dvigubo dugno“ uždavinių stilius nepažeidė svarbaus egzamino reikalavimo – visiems vienodų sąlygų. Teoriškai moksleivis galėjo pasirinkti, kokiu būdu gauti tašką: ar sprendžiant matematikos, ar „išsisukimo nuo matematikos“ uždavinį. Bet mokykloje išsisukinėjimų nuo uždavinio sprendimo niekas nemoko. Todėl didžiajai daliai mokinių net neatėjo į galvą, kad yra tokia galimybė. Jie taikė matematikos žinias ir ėjo sunkesniu keliu ir todėl atsidūrė prastesnėje padėtyje. Tie moksleiviai, kurie susiprato ar „išsisukimo“ meno buvo pamokyti, gavo lengvesnius taškus. Todėl tokio tipo uždaviniai neturėtų atsirasti matematikos egzamine.

Ar galima buvo išvengti „dvigubo dugno“ užduočių? Be abejo. Didžioji jų dalis atsirado dėl nerašytos taisyklės, skirtos egzamino pirmajai daliai, pažeidimo. Tuose uždaviniuose, kurie turi pasirinktinius atsakymus (visa pirmoji dalis), iš viso neturėtų būti reikalaujama ką nors apskaičiuoti. Egzamine apskaičiavimo uždaviniams yra pakankamai vietos. Tam yra skirtos antra ir trečia uždavinių dalys.

Pirma dalis yra skirta sąvokų ir teiginių žinojimui bei suvokimui patikrinti. O jeigu reikia „numesti gelbėjimo ratą“ laikantiems, tai visada galima pateikti daugiau uždavinių, pilnai atitinkančių tai, ką ir kaip moko mokykloje.

Reziumuojant: „dvigubo dugno“ uždaviniai nė vienam laikiusiajam nesumažino egzamino pažymio, bet kartu ir nepalengvino egzamino.

Jie galėjo kai kam nepelnytai padidinti pažymius. Tai reiškia, kad realios moksleivio žinios nuo egzamino įvertintų galėjo skirtis kone dešimčia taškų (padidinimo link). Atsirado reali galimybė, kad dalis tų, kurie išlaikė egzaminą, iš tikrųjų silpniau žinojo matematiką už kai kuriuos iš tų, kurie jo neišlaikė. Tai reiškia, padidėjo egzamino neteisingumo matas. O už tai blogiau galėtų būti nebent egzamino objektyvumo praradimas. Tai įvyktų, dalinai ar pilnai, atidavus šį egzaminą prižiūrėti pačioms mokykloms.

Ką reikėtų daryti?

Aptartam egzamino uždavinių trūkumui pašalinimui nereikia didelių lėšų, užtenka tik noro ir valios. Ar NŠA tam skirs reikiamą dėmesį, pamatysime vasarą. Žymiai didesnė problema yra tragiškai žemas matematikos žinojimo lygis (žiūrėti čia).

Matematika iš kitų dalykų išsiskiria tuo, kad jos neįmanoma išmokti prieš tai nesupratus. Todėl daugiausia jėgų reikia skirti ne dalyko išmokimui, o jo supratimui. Tas ir turi būti matematikos mokytojo darbo esmė. Jis turi sugebėti atsakyti į visus mokinių klausimus. Bet tai fiziškai neįmanoma padaryti dirbant su didelėmis klasėmis. Todėl visa reforma turi prasidėti nuo svarbiausio dalyko – matematikos pamokoje dalyvaujančių moksleivių skaičiaus sumažinimo. Jų neturėtų būti daugiau negu 15.

Malonu tai, kad pastaraisiais metais mokyklinės matematikos mokymo problema sulaukė karštų diskusijų. Labai norėtųsi ją pratęsti ir išvengti klystkelių.

Visų pirma, senų metodų tobulinimas vargu ar ką nors kardinaliai pakeis. Mokytojų kvalifikacijos kėlimas ir naujų vadovėlių, strategijų ir programų rašymas – tai buvo daroma trisdešimt paskutinių metų, o galiausiai turime neigiamą rezultatą.

Mokyklinė matematika iš esmės buvo sukurta prieš kelis šimtmečius. Per šį laiką daugelis pasaulio matematikų bandė sukurti geriausią vadovėlį, bet iki šiol tokio nėra žinoma. Mums staigiai nepavyks tokio išrasti. Lygiai taip pat mes neturime nei pakankamai puikių lektorių, nei išskirtinių ir vertų dėmesio metodikų, sugebančių aukščiau pakelti mokymo lygį. Ir už prarastus tam skirtus pinigus blogesnis dalykas būtų tik prarastas laikas.

Pamokų skaičiaus didinimas daro panašų teigiamą poveikį kaip ir moksleivių skaičiaus mažinimas matematikos klasėje. Finansine prasme Valstybei tai beveik vienodai kainuoja: trečdaliu padidinti pamokų skaičių arba trečdaliu sumažinti mokinių skaičių klasėje.

Tačiau efektas skirtingas. Juk klasėje su 15 mokinių išaiškinti temą per pamoką yra geriau, negu klasėje su 30 mokinių tą pačią temą aiškinti per dvi pamokas. Kol mokytoja 30 mokinių klasėje dvi pamokas atsakinės į silpniausiųjų klausimus, ką turi daryti pažangesnieji, kurie jau per pirmą pamoką suprato temą?

Geriau dirbti su mažesne klase. Todėl mokinių skaičiaus mažinimas turi pirmumą prieš pamokų skaičiaus didinimą.