R.Tuminas 1974 metais baigė TV režisūrą Lietuvos muzikos akademijoje (LMA), 1978-aisias Leningrado A.Lunačiarskio Teatro institute (GITIS) įgijo teatro režisūros specialybę.
1979-1990 metais R.Tuminas dirbo režisieriumi Lietuvos valstybiniame akademiniame dramos teatre (LNDT), 1994-aisias buvo paskirtas teatro vadovu. Suteikus teatrui Nacionalinio teatro vardą, R.Tuminas tapo jo generaliniu direktoriumi ir vadovavo teatrui iki 1999 metų.
1990 metais režisierius įkūrė Vilniaus mažąjį teatrą.
1994 metais R.Tuminui buvo suteikta Nacionalinė premija už Antono Čechovo "Vyšnių sodo", Grigorijaus Kanovičiaus "Nusišypsok mums, Viešpatie" ir Bertoldo Brechto "Galilėjaus" pastatymus.
Įvairiuose Lietuvos ir užsienio šalių teatruose R.Tuminas sukūrė 30 spektaklių.
Per 3 pastaruosius metus jis pastatė Williamo Shakespeare'o (Viljamo Šekspyro) "Ričardą III" LNDT, Frydricho Šilerio "Mariją Stiuart" Maskvos teatre "Sovremenik", Antono Čechovo "Vyšnių sodą" Islandijos nacionaliniame teatre, W.Shakespeare'o "Romeo ir Džiuljeta" Vroclavo teatre "Wspolczesny", A.Čechovo "Žuvėdrą" "Dundee" teatre Škotijoje ir kitus.
R.Tumino sukurti spektakliai rodomi įvairiose pasaulio teatrų scenose, pelnę prizus tarptautiniuose teatrų festivaliuose.
2000 metais R.Tuminas tapo Rusijos Federacijos valstybinės premijos laureatu už indėlį į Rusijos Federacijos literatūrą ir meną.
Šiuo metu režisierius yra išvykęs statyti spektaklio į Vachtangovo teatrą Maskvoje.