216 cm ūgio vidurio puolėjas dar turėjo pasiūlymų iš Slovėnijos ir Italijos klubų, tačiau priėmė sprendimą naujų sutarčių nebesudarinėti. Anot aukštaūgio, jis nebesijaučia galintis žaisti aukšto lygio krepšinį ir nenori rizikuoti pandemijos metu būti atskirtas nuo šeimos.
Per savo karjerą M. Begičius laimėjo 12 trofėjų Ispanijoje, Kroatijoje, Slovėnijoje, Baltijos krepšinio lygoje. Joje 2010-aisiais jis triumfavo su Kauno „Žalgirio“ ekipa, kuriai atstovavo nepilnus du sezonus.
Būtent iš Kauno jis pasuko į Madrido „Real“ klubą, kurį laiko aukščiausiu savo karjeros tašku. Su „Real“ M. Begičius 2013-aisiais žaidė Eurolygos finale, tačiau jį pralaimėjo Pirėjo „Olympiakos“ ekipai.
Iš viso Eurolygoje M. Begičius sužaidė 125 rungtynes, per kurias vidutiniškai pelnė po 6,1 taško, atkovojo po 3,8 kamuolio ir blokavo po 1,3 metimo.
