I. Agolo sritis, topologija, yra matematikos sritis, tarianti kad visos formos yra sudarytos iš tąsios gumos. Ji tiria tas savybes, kurios išlieka nepakitusios, kai erdvė suspaudžiama ar ištempiama, jei tik nėra perplėšiama ar suklijuojama. Galite įsivaizduoti topologines savybes kaip didelio masto erdvės savybes. Kita vertus, geometrija tyrinėja smulkesnes savybes, priklausančias nuo erdvės formos. Topologai jau seniai visai gerai suprato, kaip topologija ir geometrija sąveikauja dviejų matmenų paviršiuose, arba 2-daugdaroje. Trimatės daugdaros – visa kita kalba.
Apetitiškas būdas suprasti 2-daugdaras ir 3-daugdaras yra galvoti apie riestainį. Glazūra – dvimatis riestainio formos paviršius – yra 2-daugdara. 3-daugdara yra visas riestainis, su įdaru ir taip toliau. Su 3-daugdara mes reikalų turime kiekvieną dieną, bet matematikai dar tiria 3-daugdaras, kurios yra abstraktesnės ir negali būti vizualiai pavaizduotos realiame pasaulyje.
I. Agolo darbas yra matematiko Williamo Thurstono pradėtos tyrimų programos kulminacija. 1982 metais W. Thurstonas publikavo svarbų straipsnį, išklodamas visus pagrindinius klausimus ir kelis galimus atsakymus, kaip kurti ir dirbti su 3-daugdaromis. Šis straipsnis tarnavo kaip kelrodis šios temos tyrimams iki pat 2012 metų, kai I. Agolas pateikė atsakymus į paskutiniuosius iš W. Thurstono neatsakytų klausimų apie 3-daugdarą.
Žymiausioji W. Thurstono darbo konjektūra vadinama geometrizacijos konjektūra. (Dabar tai jau geometrizacijos teorema, kadangi rusų matematikas Grigorijus Perelmanas įrodė ją šio amžiaus pirmajame dešimtmetyje. Ekscentriškas, uždaro būdo matematikas atsisakė prestižiškojo Fieldso medalio ir milijono dolerių vertės Tūkstantmečio prizo už savo darbą. Teorema skelbia, kad visos 3-daugdaros, kad ir kokios topologiškai sudėtingos, turi tik keletą skirtingų geometrinių apibūdinimų. Dauguma iš šių aprašymų leidžia matematikams suprasti trimatę geometriją, suprantant dvimatę, kuri yra fundamentaliai paprastesnė. Bet vienas geometrijos tipas, vadinamoji hiperbolinė, tokiam paprastinimui nepasidavė. I. Agolo darbas suteikia mokslininkams būdą tyrinėti tokias hiperbolines 3-daugdaras, taip pat naudojant paviršius.
O būtent, I. Agolas įrodė virtualią Hakeno ir virtualaus pluošto konjektūras. Topologai sako, kad erdvė turi „virtualią“ savybę, jeigu ji gali būti „padengta“ erdve, neturinčia šios savybės. Šiuo atveju „padengta“ yra techninis terminas, glaudžiai susijęs, bet ne tiksliai toks pat, kaip dovanos vyniojimas. Vienas iš būdų suprasti šią idėją yra galvoti apie sodo žarnos vyniojimą ant apvalios ritės. Taip galėtume sakyti, kad žarna yra ritės danga arba kad ritė yra virtuali žarna. „Virtualumo“ galia yra ta, kad taip galima suprasti objektą, kurį dengia lengviau suprantama danga. Grįžtant prie sodo žarnos,apskritimas ir žarna nėra tiksliai tas pats, bet turi tam tikrų panašumų, ir gilus, dzenistinis žarnos supratimas padės suprasti ratą.
Hakeno daugdaros, pavadintos vokiečių matematiko Wolfgango Hakeno vardu, iteruojant gali būti padalintos į vis mažesniu gabalėlius. Jei daugdarą galima taip dekompozuoti, ją galima lengvai suprasti, perpratus tai, kas galiausiai iš tokio dalinimo lieka. Virtuali Hakeno konjektūra teigia, kad daug daugdarų, kurios nėra Hakeno, virtualiai yra Hakeno – kitaip tariant, Hakeno dangos studijavimas gali padėti mokslininkams suprasti po ja slypinčią daugdarą.
Virtualaus pluošto konjektūra sieja geometriją su dinamika, erdvės pokyčių tyrimu. Tempdami apskritimą išilgai atkarpos, gausite cilindrą. Tada galima priklijuoti viršutinį apskritimą prie apatinio ir gauti torą – tai matematinis vidinio vamzdžio figūros terminas. Galima nagrinėti torą kaip diagramą, vaizduojančią apskritimo judėjimą erdve. Žvelgiant į aukštesnį matmenį, galima padaryti kažką panašaus, tempiant paviršių išilgai atkarpos ir suklijuojant viršutinį paviršių su apatiniu ir gauti 3-daugdarą, vadinamą paviršiaus ryšuliu (surface bundle). Virtualaus pluošto konjektūra teigia, didelė daugdarų aibė nėra visai paviršiaus ryšuliai, bet leidus sau žodžio „virtualiai“ suteikiamą laisvę, juos galima tokiais laikyti. „3-daugdara turi daugybę skirtingų gyvenimų,“ sako Čikagos universiteto matematikas Danny Calegari. Jis gali būti aprašytas geometriškai, dinamiškai, kombinatoriškai ir taip toliau. „Norisi permąstyti skirtingus požiūrio taškus.“ I. Agolo darbas, kuriame keletas skirtingų požiūrio taškų vertinami iš naujo, yra šio apdovanojimo pagrindas.
Nors Proveržio premija yra individualus apdovanojimas, I. Agolo sėkmė iliustruoja bendradarbiavimo matematikoje svarbą. „Jaučiuosi esantis vertas tik mažos to dalies, nes gavau tiek naudos iš kitų žmonių darbo ir smarkiai klioviausi bendradarbiais ir prieš tai dirbusiais žmonėmis,“ sako I. Agolas. Jo teorema labiausiai remiasi darbu , kurį atliko McGill universiteto matematikas Danielis Wise'as, drauge su I. Agolu pasidalinęs 2013 metų Oswaldo Vebleno Premiją geometrijos srityje. I. Agolas taipogi rėmėsi Jeremy Kahno ir Vlado Markoviciaus darbais, bei virtualaus Hakeno konjektūros įrodymo dalimi, parašyta su Danieliu Grovesu ir Jasonu Manningu; svariai prisidėjo ir daug kitų žmonių. „Manau, kalbant su žmonėmis, protas persijungia į kitą atskaitos sistemą, kur galima atlikti intuityvius šuolius,“ svarsto I. Agolas. „Tada būni verbalinėje, ne kontempliatyvioje veiksenoje.“
Richardas Tayloras iš Pažangiųjų tyrimų instituto yra vienas pernai metų Proveržio premijos matematikoje laureatų, ir šiai metais jis vadovavo Atrankos komitetui. „I. Agolo darbas įkūnijo du mūsų ieškomus dalykus,“ sako R. Tayloras. „Jis aiškus savo srities lyderis , ir be to, yra daugiau nei vienas rezultatas. Tai nėra premija už vieną teoremą. Tai premija žmonėms, atlikusiems daug indėlių.“
I. Agolo atliktas virtualaus Hakeno konjektūros įrodymas tam tikra prasme žymi eros pabaigą, bet, kaip sako R. Tayloras, „Veikiausiai tai nereiškia 3-daugdaros topologijos nagrinėjimų pabaigos.“ I. Agolas sako, kad dar yra daugybė įdomių klausimų apie 3-daugdaras. „Man viena iš pagrindinių programų yra pabandyti sujungti tai, kad nuveikta hiperbolinėje geometrijoje – geometrizacijos konjektūrą ir turimą vaizdą – su kitomis 3-daugdaros topologijos sritimis.“ Be to, dar yra skaičiavimų sudėtingumo klausimas: jei kas duos jums 3-daugdarą, kiek truks galinčios ją padengti Hakeno daugdaros paieškos ir jos padalinimas į mažesnius gabalėlius? Be to, santykinai užbaigtas 3-daugdaros paveikslas galėtų padėti mokslininkams suprasti svaiginantį keturmačių erdvių pasaulį panašiai, kaip paviršiai padėjo perprasti 3-daugdaras.
I. Agolas sako besitikintis panaudoti savo 3 milijonų dolerių prizą, padėdamas matematikų bendruomenei, galbūt, paremdamas matematikus besivystančiuose kraštuose, kaip padarė ankstesni laureatai. Jis sakė, kad apdovanojimo laimėjimas yra garbė, bet jis nesiėmė matematikos, tikėdamasis laimėti prizus. „Sužinojimas apie prizo laimėjimą niekados nebuvo toks jaudinamas, kaip momentas, kai supratau išsiaiškinęs virtualaus Hakeno klausimą.“
